перейти к содержанию

CVA/PFE: строим модель в Excel

Максим Расторгуев
Максим Расторгуев
Риск-менеджер

Цель данной статьи это предложить конкретную работающую модель CVA/PFE в Excel, вооружившись мат аппаратом на уровне элементарных интегралов и базовыми знаниями статистики. Нам не потребуются специальные пакеты или дорогостоящие решения, во всяком случае если наша книжка ПФИ представлена линейными деривативами наподобие форварда и свопа.

Начнем с описания базовых вызовов для оценки CVA/PFE. Во-первых, это необходимость оценить потенциальный риск на всем горизонте сделки, который может быть достаточно длинным, скажем, 10 лет. В отличии от кредита, где уровень exposure на контрагента известен с хорошей точностью, в случае с деривативом этот уровень непонятен. И неопределенность тем выше чем длиннее сделка: никто не знает какой курс или ставка будут на рынке через тройку лет. Непонятен даже знак этого exposure: никто не скажет, пойдет ли МТМ (финрез) сделки в сторону банка или клиента. У кого вообще возникнет кредитный риск: то ли у банка на контрагента, то ли у контрагента на банк.

В отличии от такой метрики как, например, VAR, который оценивается на коротком интервале наподобие 10 дней, в случае с кредитным риском контрагента мы работаем на гораздо более длинном интервале, и из этого следует первое и важное различие данных метрик: если в случае VAR правомерно пренебречь ожидаемым изменением стоимости контракта и включать в расчет только волатильность, то для CVA/PFE этого сделать не получится, иначе мы рискуем недооценить exposure на банк. Значит, возникает вопрос как измерить не только волатильность, но и ожидаемое изменение стоимости контракта.

Что касается волатильности (изменчивости) самого контракта, то ситуация здесь еще более интересна: в случае если в течение жизни контракта он имеет положительный MTM (финрез) для банка, и в этот момент контрагент допускает дефолт, банк несет убытки. Но в случае, если MTM будет в пользу контрагента, и он задефолтит, банк будет обязан исполнить свои обязательства в полном объеме. Другими словами, в первом случае банк в минусе, а во втором остается при своих. Данный профиль риска ассиметричен и соответствует короткой позиции в опционе, поэтому нелишне помнить о схожести нашей метрики с опционом, и значит волатильность будет являться очень важным фактором в определении CVA/PFE как и для любого опциона.

Приступим к описанию самой модели

Поскольку кредитный риск в сделке ПФИ это МТМ (финрез) данной сделки (если финрез ноль, то и никакого контрагентского риска нет), нам потребуется для начала оценить каким МТМ может потенциально быть. Предположим, что распределение МТМ некоторое нормальное с параметрами

Кредитный риск банк несет в случае MTM>0, поэтому на распределении нас будет интересовать только область положительных Х. По абсцисс МТМ, по ординат – вероятность данного МТМ.

Будем называть положительный МТМ expected exposure. Поскольку он ожидаемый, то уместно говорить о нем лишь в вероятностном смысле, и вычислять как взвешенное по вероятностям значение:

, где х=МТМ, p(x) вероятность, соответствующая х.

Или в интегральной форме:

, где pdf(xплотность вероятности.

Дальше мы сразу перейдем к аналитической формуле для CVA в Excel (доказательство в приложении), являющейся основой модели:

Напомним значение двух главных компонент модели:

– это неслучайная компонента изменения стоимости позиции, будем называть ее drift;

–  это волатильность, она представляет собой случайную компоненту.

Обе эти величины будем выражать в аннулизированной форме, например,

При этом drift является линейным по времени: через год мы ожидаем, что контракт подорожает на 5%, через два года на 10% и тд.

С волатильностью немного сложнее: она линейна по квадратному корню из времени. Через год ожидаемая волатильность

через два

и так далее. Доказательство совершенно тривиально, поэтому не приводим.

Давайте графически изобразим что вообще происходит в модели. Пусть мы стоим в точке t0 сегодня и выбираем произвольный момент времени tв будущем, пытаемся понять, каково может быть expected exposure в этот момент, однако это величина случайная, а все что мы можем будучи в t0 это наблюдать описанное выше распределение МТМ в t1.

Параметры данного распределения будут:

  и

Пусть для примера ищем expected exposure через три месяца. Тогда:

то есть 4,65% от номинала сделки. Так мы можем посчитать expected exposure в любой будущей точке нашей сделки, достаточно выбрать шаг для такого расчета, например 1 месяц.

Предположим наша сделка это FX-форвард USDRUB сроком 1 год, шаг расчета один месяц, мы провели 12 расчетов и получили ряд expected exposure из 12 чисел. Далее логика простая: шаг времени постоянный, поэтому мы можем усреднить Expected Exposure (предварительно продисконтировав по ставке, учитывающей риск контрагента) так как будто в среднем мы имеем на контрагента expected positive exposure (EPE). По сути, мы выдаем воображаемый кредит контрагенту на год в размере EPE.  Для нашего примера получается:

Пусть ставка без риска равна 5%, тогда кредитный спред контрагента 3%, а в итоге CVA=3%*0.067=0.2%, другими словами, деск должен зачарджить контрагента на 0,2% от номинала сделки. Поскольку деск зашьет этот кост в котировку, то если например 1-годичный форвард USDRUB стоит 78 рублей, то соответствующий CVA будет около 16 копеек, на эту величину будет ухудшен курс для клиента.

 Что означает величина CVA? По сути это аналог ожидаемых убытков от сделки из-за (непокрытого) кредитного риска контрагента. Банк должен включать ее в котировку сделки точно так же, как он включает величину ожидаемых убытков в процентную ставку по кредитном портфелю, то есть делать прайсинг в привязке к риску контрагента. Если этого не делать, банк привлечет низкокачественных контрагентов и ухудшит качество своего портфеля. Будучи вопросом прайсинга, включение CVA в котировку это задача котирующего трейдера либо отдельного деска, управляющего CVA банка (но не задача риск-менеджмента, хотя это, возможно, и несколько контр интуитивно). После заключения сделки есть альтернатива просто оставить данный чардж как компонент P&L если банк желает нести кредитный риск контрагента, либо сделать хедж на рынке кредитных ПФИ на сумму удержанных с клиента средств. Вполне возможно, что на клиента не торгуется CDS и тогда придется мэппить риск клиента на факторы и осуществлять факторный хедж (например, через позиции в акциях или индексных CDS), либо искать другие схемы хеджирования. Управление CVA-риском это отдельная и очень любопытная тема, поэтому при наличии серьёзный деривативной книги на определенном этапе целесообразно формировать отдельный CVA-деск.

С задачей торгового деска в контексте CVA более-менее понятно, обратимся теперь к риск-менеджменту. Задачей последнего является в первую очередь понимание количества капитала, необходимого под данную сделку, соотнесение данного капитала с риск-аппетитом кредитной организации через систему лимитов и контролирование этих лимитов. Основная метрика риск-менеджмента в части контрагентского ПФИ-риска это potential future exposure (PFE). Это практически стопроцентный аналог value at risk, а его расчет, к счастью, значительно проще чем CVA. Мы вновь находимся в точке tи смотрим на будущую дату t1 только теперь нас интересует не все распределение, а только его правый хвост в соответствии с выбранным нами доверительным уровнем p:

Например, в точке три месяца мы знаем drift= 1.25%, volatility = 10%. Если мы считаем аналог 99% var, то p=1%, а PFE=1.25%+2.33*10%=24.6% что почти в 5,5 раз больше CVA. Столь сильное превышение риск-метрики над метрикой трейдера подчеркивает различие между ними несмотря на то, что они в общем-то построены из одних и тех же изначальных предпосылок. В целом, удобно помнить, например такую иллюстрацию:

Expected MTM это ни что иное как дрифт

Не составляет труда посчитать PFE для каждого временного шага и усреднить по аналогии. Для знакомого нам годового форварда получим:

Рассматривая Expected PFE вновь как эквивалент кредита, мы можем лимитировать эту величину обычным кредитным лимитом. Пусть данный лимит установлен на уровне 0,4. Тогда все окей. Но если бы трейдер захотел сделать двухлетний форвард, он бы вылетел из лимитов так как Expected PFE увеличится с 0,337 до 0,457:

Либо ему пришлось бы снижать номинал сделки, либо ограничиться сроком 1 год так как даже 1,5 года не проходят в лимит при данном номинале.

Понятно, что концепция Expected PFE позволяет привести разный вид риска (ПФИ и МБК например) к одному знаменателю, что удобно для быстрого расчета свободного лимита на контрагента при наличии разных типов сделок.

Это один из вариантов организации лимитной системы для сделок ПФИ.

Следующим шагом логично постараться расширить нашу модель на сделки процентный своп. Предположения не изменяются за исключением того, что своп имеет дюрацию, а значит кредитный exposure неизбежно будет стремиться к нулю с течением времени: даже при очень большом движении ставки своп почти не отреагирует если на тот момент до погашения остается мало времени. Нет сильного смысла считать дюрацию строго в модели, ее вполне можно считать приближенно равной (T-t), где Т равно времени экспирации сделки, в итоге для моделирования МТМ все что нужно сделать это умножить, соответственно:

– ExpectedExposure * (T-t);

– PotentialFutureExposure*(T-t). Для годового свопа в предположении, что волатильность ставок и дрифт в 10 раз меньше соответствующих значений на рынке USDRUB, получим:

Как мы видим, профили риск-метрик для свопа существенно отличаются от таковых для форварда.

Соответственно после дисконтирования и усреднения:

– ExpectedPositiveExposure=0.24%, cva=0.24%*3%~0.8bp, где 3% кредитный спред контрагента на сроке 1 год;

– ExpectedPFE=1.25%.

При столь малом CVA котировка для контрагента будет сдвинута против него всего примерно на 1 пипс. В этом нет неожиданности из-за двойного эффекта низких drift и sigma, а также дюрации. Утилизация кредитного лимита тоже гораздо ниже.

Заключение

Нами была рассмотрена достаточно простая модель CVA/PFE. Возможно, одно из главных упрощений это предположение о постоянстве кредитного спреда. В действительности при заключении сделок длиннее года придется иметь дело с реальными кредитными кривыми, которые в случае отдельных контрагентов могут быть достаточно крутыми. В этом случае очевидным является желание учесть зависимость кредитного спреда от времени. К сожалению, это усложнит модель: потребуется не только извлечь вероятности дефолта из кредитной кривой, но и поменять сам способ расчета CVA, отказавшись от упрощенной формулы произведения кредитного спреда на EPE (expected positive exposure). Тем не менее по крайней мере для линейных деривативов без встроенных опциональностей и в случае не слишком сильного наклона кредитной кривой можно использовать рассмотренную несложную модель.

Приложение 1. Доказательство аналитической формулы для CVA.

Мы приводим его не ради красоты, а скорее потому что вывод позволяет понять саму концепцию CVA гораздо лучше.

Для нормального распределения известно, что

, имеем для EPE:

Мы добавили одно и то же слагаемое к первоначальному интегралу и тут же вычли его. Очевидно, интеграл не изменился. Первый интеграл возьмем аналитически:

Все готово, чтоб затащить экспоненту под дифференциал:

Заметим, что данное выражение в Excel запишется простой формулой

Второй интеграл аналитически не берется. Но эту проблему можно обойти если заменить переменную

Нижняя граница интеграла из нуля станет


Верхняя не поменяется:

Наша цель сейчас свести функцию под знаком интеграла к стандартной нормальной плотности распределения. Сделаем еще одну замену

:

Под интегралом стоит стандартная нормальная плотность, а значит сам интеграл представляет собой кумулятивную вероятность данной плотности. Данный интеграл это площадь любой из двух закрашенных областей :

И в Excel его значение будет равно

Итак, интегралы удалось свести к достаточно простой форме в Excel:

Аналитическая формула доказана.