Метод принципиальных компонент в стратегии и тактике торгового- и риск-подразделений деска процентных ставок

В статье рассматриваются возможности, которые открывает метод принципиальных компонент по сравнению с традиционными методами управления процентным риском торговой позиции. Был сделан упор на практическую интерпретацию примера (хотя некоторая мат-подготовка все же потребуется).

Как известно, рейтс-трейдер каждодневно сталкивается с необходимостью отслеживать риск-профиль своей позиции для соотношения ожидаемой прибыли и принятого на позицию риска. В связи с этим вопросы управления данным видом риска, полного или частичного хеджирования являются актуальными для трейдера. С другой стороны, в таком хеджировании может быть заинтересовано и риск-подразделение, в компетенцию которого может, например, входить полное хеджирование риска базовых ставок банковской книги с целью поддержания экспозиции Банка только на кредитный спред эмитентов из банковской книги.

Традиционным и, пожалуй, самым простым способом такого управления процентным риском является хедж позиций через DV01. Вкратце напомним, что в этом случае предполагается параллельный сдвиг кривой базовых ставок. Если банк имеет портфель с DV01=DV01core, то для хеджа трейдер занимает позицию, имеющую DV01hedge такую что DV01hedge=-DV01core. Поскольку сдвиг кривой параллелен, нет никакой разницы в какой именно точке кривой формировать хеджирующую позицию, и, скорее всего, единственным аргументом за ту или иную точку будет рыночная ликвидность, присутствующая в ней. Как многократно упомянуто в литературе, аргумент параллельного сдвига редко выдерживает проверку практикой, поэтому данную особенность стратегии «хедж через DV01» чрезмерно упрощает то, что наблюдается в действительности.

Более гибкий способ, учитывающий фактическое движение ставок в разных частях кривой, это построение двух- и более факторной регрессии. Например, если мы хотим захеджировать на кривой ОФЗ точку 5 лет через формирование позиции в точках 2 года и 15 лет, то можем построить регрессию изменений пятилетней доходности на изменение двух- и пятнадцатилетней точек. Мы выбрали исторические значения бескупонной кривой ОФЗ (RUSSIAN FEDERATION GOVERNMENT BOND ZERO CURVE, Eikon-code 0#RUXZ=R) за последние два года (2018-2020).

Возможностями Eikon регрессия строится легко и быстро, доступно прямо в терминале:

Предположим, что для каждого 100 рублей номинальной стоимости позиции имеем следующие dv01s:

• dv01(2y) = 0.0180 rub;
• dv01(5y) = 0.0378 rub;
• dv01 (15y) =0.0582 rub.

Пусть трейдер получает ставку в точке 5 лет на номинал, равный 10 000 рублей. Другими словами, деск купил бескупонную ОФЗ с погашением через 5 лет с номиналом 10 000 рублей и желает занять такие короткие позиции в точках 2года и 15 лет, чтоб полностью убрать риск со своей книжки.

Из известных значений DV01 и коэффициентов регрессии без труда находим необходимые хеджирующие позиции:

• в точке 2 года по номиналу, шорт
  

•  точке 15 лет по номиналу, шорт
  

Таким образом мы составили позицию, призванную полностью убрать процентный риск с торговой книги. Как это будет ясно через минуту, интересно задать вопрос: какая часть первоначального риска хеджирована через точку 2 и соответственно 15 лет? Ответ может показаться неожиданным: мы получим что 50% первоначального риска хеджировано через точку 2 года, а 55% через точку 15 лет, что соответствует коэффициентам регрессии. Неожиданность заключается в том, что их сумма больше 100%, и в этом нет ошибки так как это свидетельствует, что регрессия хеджирует не только параллельный сдвиг кривой но и некоторый другой фактор, являющийся источником риска позиции (мы можем предположить, что этот фактор – наклон кривой).

Таким образом уже на этом этапе у достаточно внимательного управляющего могут появиться вопросы:

• можно ли разбить наш хедж на два этапа: уровень ставок и наклон кривой?
• можно ли оставить только риск наклона на позиции? Можно ли оставить его лишь частично и как это лучше всего сделать?
• как соотнести ожидаемую доходность с принимаемым уровнем риска в случае сложного риск-профиля позиции? Как этот риск лучше всего оценить количественно?

На все эти вопросы дает ответ метод принципиальных компонент. Проблема регрессии в том, что она не разделяет риск-факторы и в этом смысле она, являясь подходящей для полного хеджа, достаточно плохо подходит для более тонких задач.

Поиск принципиальных компонент

Рассмотрим основные этапы поиска искомых компонент, снабдив их небольшими комментариями. Имеем:

• • Построим матрицу ковариаций изменений доходности в точках 2y, 5y, 15y.
    И сразу заметим, что сумма дисперсий точек равна сумме диагональных элементов.Незаменимая вещь для построения подобных матриц – надстройка Eikon-Excel Covariance and correlation matrix.
    
    
  • Пусть первый компонент это некоторый вектор Мы хотим, чтобы он объяснял наибольшую часть вариативности первоначальных данных, что достигается через два условия:
    • с₁*с₁^T=1 обозначим данное условие (&). Оно гарантирует, что сумма дисперсий наших принципиальных компонент будет равна TotalVariance;
    • выражение с₁*(cov.mtrx)*c₁^T есть ни что иное как дисперсия первого принципиального компонента, и именно его необходимо максимизировать при соблюдении ограничения (&).Используем Solver и находим
      
  • Для того, чтобы найти дисперсию c₁ нам придется перемножить соответствующие матрицы, имеем в итоге
    Отметим, что этот компонент объясняет около
    первоначальной суммарной дисперсии, что является хорошим результатом.
  • Второй компонент найдем точно также, но необходимо добавить условие на отсутствие корреляции второго и первого компонента. Если второй компонент c₂, то данное условие имеет вид: с₁*с₂^T=0  (&&) . Вновь используем Solver но уже с двумя ограничениями  вида (&) и (&&), находим второй компонент
    Повторяя логику, находим, что второй компонент объясняет 4% первоначальной суммы дисперсий. В сумме с первым это уже 98%, вполне достаточно для нашей задачи. Напомним также, что отсутствие корреляции не означает независимости.
  • Последним этапом перед интерпретацией всех этих вычислений запишем наши компоненты для удобства в виде произведения их на свои стандартные отклонения. Имеем для
    Наш новый компонент мы обозначим заглавной буквой, и он уже имеет размерность процентного пункта. Для второго компонента все полностью аналогично, имеем
    

Интерпретация результатов точки зрения экономики торговой позиции

Поскольку смысл найденных величин очевиден не сразу, то их верная интерпретация – ключевой момент в корректном практическом применении. Предложим следующую интерпретацию получившихся компонент на примере С₁: это такая случайная величина, при изменении которой на одно стандартное отклонение ставки в точках 2y, 5y и 10y изменяются соответственно на 18,41 bp, 20,85 bp, 19.98 bp. Очевидно, знак изменений ставок и первого компонента совпадают: при росте компонента ставки растут, при падении – падают, и можно говорить, что экспозиция C₁ положительна на все три доходности.

Итак, что в настоящее время нам известно о C₁:

• Объясняет более 90% вариативности ставок;
• Все ставки двигаются одновременно на рост или на падение;
• Величины в строках вектора достаточно близки между собой.

Это наводит на мысль, что данный компонент описывает параллельный сдвиг общего уровня процентных ставок. Пока это только гипотеза, в дальнейшем мы проверим ее бэк-тестом.

Аналогичную интерпретацию можно дать и для второго компонента: если мы добавим одно стандартное отклонение к C₂ , то ставки увеличатся на 4,43 bp, 1,31 bp, и минус 5,45 bp, что очень похоже на изменение наклона кривой: при росте C₂ кривая будет инвертироваться, а при падении – нормализовываться. Давайте вновь примем это за рабочую гипотезу и потом проверим на бэк-тесте. Итак, экспозиция C₂ положительна на короткий и средний участок кривой и отрицательна на длинный.

Логичны ли эти выводы? Если предположить что компоненты C₁ и C₂ имеют тенденцию двигаться сонаправлено, то например режим risk-off на рынке можно описать одновременным увеличением данных компонент. Действительно, в таком режиме общий уровень ставок растет (С₁ ↑), а кривая имеет тенденцию инвертироваться за счет более волатильного короткого участка и менее волатильного длинного (C₂ ↑). И аналогично для режима risk-on: уровни ставок падают ( С₁ ↓), кривые становятся более нормальными (С₂ ↓).

Найденные компоненты призывают нас больше не думать в системе координат отдельных ставок, они предлагают другой подход, где изменяются уже сами компоненты. Соответственно будет полезно помнить, что наш доход (также как и риск) теперь обусловлен уже движениями C₁ и C₂ , а не отдельных ставок. Именно так мы и поступим на этапе практического применения компонент.

Применение найденных компонент для нашей задачи.

Мы попросим у читателя вспомнить наши первоначальные задачи по хеджированию торговой книги, озвученные во вступительной части.

• быть рыночно нейтральным к уровню ставок;
• брать риск только на изменение наклона кривой;
• иметь количественную оценку данного риска в рублях.

Первая задача решается сразу: целевая структура портфеля должна обеспечивать нулевую экспозицию на C₁.

Определим, что требует вторая и третья задачи. Очевидно, экспозиция портфеля на C₂ должна быть ненулевая. Но какая? Здесь все зависит от риск-толерантности Банка, в котором работает торговый деск. Давайте предположим, что под данную торговую идею трейдер имеет стоплосс 100 рублей. Если целевая вероятность дефолта Банка согласно его стратегии равна 1%, то эти 100 рублей представляют собой 99% var позиции. В этом случае целевое стандартное отклонение нашей позиции примет вид
Это и будет величина экспозиции на C₂.

Итак, все готово для формулировки задачи в виде, например, такой таблицы:

Получили два уравнения против двух неизвестных, что имеет аналитическое решение, и наш профиль позиции в терминах dv01 предстаёт в виде:

dv01(2y) = 1.739

dv01(5y) = 3.786

dv01(15y) = -5.555.

Переход от dv к конкретному количеству бумаг тривиален. Целевой портфель сформирован, и задачу можно считать решенной.

Бэк-тест модели

Далеко нелишне посмотреть, как это реально сработало бы на портфеле. Для этого мы, очевидно, сформируем портфель с предложенным профилем dv01 и посмотрим, как бы он вел себя за рассматриваемый интервал 2018-2020 (безусловно, это упрощение. Строгий бэк-тест должен быть динамическим с ребалансировками портфеля. Тем не менее для целей иллюстрации идеи статьи он вполне достаточен).

Для начала рассмотрим риск-характеристики полученного портфеля.

Сделаем вывод, что параметры риска портфеля близки к желаемым.

Особый интерес представляет источник риска. В следующей ниже таблице сведены коэффициенты корреляции портфеля с уровнем ставок и с наклоном кривой:

Столбец exposure показывает на что именно трейдер стремился оставить риск. Например, в нашем случае было намерение оставить портфель подверженным риску наклона кривой (экспозиция на наклон (slope)). Для каждого случая показана корреляция фактического портфеля с наклоном кривой или уровнем ставок. Для нашего примера мы получили ожидаемо практически отсутствие корреляции с уровнем ставок (0,002) на фоне высокой зависимости от наклона кривой (0,88). Это как раз тот профиль драйверов риска, к которому и стремился наш трейдер.

Однако если бы наша цель была бы, напротив, оставить портфель подверженным риску уровня ставок (экспозиция на уровень (level)), то в этом случае нежелательным фактором риска был бы уже slope, и, как мы видим, корреляция в 0,19 с данным фактором пусть по абсолютному значению и небольшая, но все же нулевой не является. Поскольку нам бы как раз хотелось нулевой экспозиции портфеля на C₂ в этом случае, предлагается провести стат-тест значимости полученной корреляции. Для этого построим двухфакторную регрессию , где зависимая переменная это Δport ={изменение стоимости портфеля} и две независимых, соответственно Δlevel ={изменение среднего уровня ставок} и Δslope ={изменение уровня наклона}. В нашем случае регрессия приняла вид:

Δport = -0,669 – 0,254*Δslope -2,150*Δlevel + ε

Для коэффициента -0,254 получаем p-value=0.16, что является слабым результатом, свидетельствующем о незначимости зависимости даже на уровне 90%. Это позволяет сделать вывод о почти отсутствующей связи нашего рейтс-портфеля и уровня наклона кривой.

Заключение

В то время как классическая задача принципиальных компонент – это уменьшение размерности многомерных данных для упрощения исследования этого массива данных, в нашем примере мы предприняли попытку использовать данный метод для декомпозиции многофакторной переменной (кривой процентных ставок) на элементарные составляющие, чтобы иметь возможность работать отдельно с каждой из этих составляющих.

Также отметим, что две найденные компоненты объясняют 98% волатильности кривой, и ничто не мешает вычислить третий компонент (оставшиеся 2%). Логично предположить, что он будет объяснять выпуклость или вогнутость кривой, что откроет возможности для реализации соответствующих торговых стратегий.