В статье рассматриваются возможности, которые открывает метод принципиальных компонент по сравнению с традиционными методами управления процентным риском торговой позиции. Был сделан упор на практическую интерпретацию примера (хотя некоторая мат-подготовка все же потребуется).
Как известно, рейтс-трейдер каждодневно сталкивается с необходимостью отслеживать риск-профиль своей позиции для соотношения ожидаемой прибыли и принятого на позицию риска. В связи с этим вопросы управления данным видом риска, полного или частичного хеджирования являются актуальными для трейдера. С другой стороны, в таком хеджировании может быть заинтересовано и риск-подразделение, в компетенцию которого может, например, входить полное хеджирование риска базовых ставок банковской книги с целью поддержания экспозиции Банка только на кредитный спред эмитентов из банковской книги.
Традиционным и, пожалуй, самым простым способом такого управления процентным риском является хедж позиций через DV01. Вкратце напомним, что в этом случае предполагается параллельный сдвиг кривой базовых ставок. Если банк имеет портфель с DV01=DV01core, то для хеджа трейдер занимает позицию, имеющую DV01hedge такую что DV01hedge=-DV01core. Поскольку сдвиг кривой параллелен, нет никакой разницы в какой именно точке кривой формировать хеджирующую позицию, и, скорее всего, единственным аргументом за ту или иную точку будет рыночная ликвидность, присутствующая в ней. Как многократно упомянуто в литературе, аргумент параллельного сдвига редко выдерживает проверку практикой, поэтому данную особенность стратегии «хедж через DV01» чрезмерно упрощает то, что наблюдается в действительности.
Более гибкий способ, учитывающий фактическое движение ставок в разных частях кривой, это построение двух- и более факторной регрессии. Например, если мы хотим захеджировать на кривой ОФЗ точку 5 лет через формирование позиции в точках 2 года и 15 лет, то можем построить регрессию изменений пятилетней доходности на изменение двух- и пятнадцатилетней точек. Мы выбрали исторические значения бескупонной кривой ОФЗ (RUSSIAN FEDERATION GOVERNMENT BOND ZERO CURVE, Eikon-code 0#RUXZ=R) за последние два года (2018-2020).
Возможностями Eikon регрессия строится легко и быстро, доступно прямо в терминале:
Предположим, что для каждого 100 рублей номинальной стоимости позиции имеем следующие dv01s:
- dv01(2y) = 0.0180 rub;
- dv01(5y) = 0.0378 rub;
- dv01 (15y) =0.0582 rub.
Пусть трейдер получает ставку в точке 5 лет на номинал, равный 10 000 рублей. Другими словами, деск купил бескупонную ОФЗ с погашением через 5 лет с номиналом 10 000 рублей и желает занять такие короткие позиции в точках 2года и 15 лет, чтоб полностью убрать риск со своей книжки.
Из известных значений DV01 и коэффициентов регрессии без труда находим необходимые хеджирующие позиции:
- в точке 2 года по номиналу, шорт
- точке 15 лет по номиналу, шорт
Таким образом мы составили позицию, призванную полностью убрать процентный риск с торговой книги. Как это будет ясно через минуту, интересно задать вопрос: какая часть первоначального риска хеджирована через точку 2 и соответственно 15 лет? Ответ может показаться неожиданным: мы получим что 50% первоначального риска хеджировано через точку 2 года, а 55% через точку 15 лет, что соответствует коэффициентам регрессии. Неожиданность заключается в том, что их сумма больше 100%, и в этом нет ошибки так как это свидетельствует, что регрессия хеджирует не только параллельный сдвиг кривой но и некоторый другой фактор, являющийся источником риска позиции (мы можем предположить, что этот фактор – наклон кривой).
Таким образом уже на этом этапе у достаточно внимательного управляющего могут появиться вопросы:
- можно ли разбить наш хедж на два этапа: уровень ставок и наклон кривой?
- можно ли оставить только риск наклона на позиции? Можно ли оставить его лишь частично и как это лучше всего сделать?
- как соотнести ожидаемую доходность с принимаемым уровнем риска в случае сложного риск-профиля позиции? Как этот риск лучше всего оценить количественно?
На все эти вопросы дает ответ метод принципиальных компонент. Проблема регрессии в том, что она не разделяет риск-факторы и в этом смысле она, являясь подходящей для полного хеджа, достаточно плохо подходит для более тонких задач.
Поиск принципиальных компонент
Рассмотрим основные этапы поиска искомых компонент, снабдив их небольшими комментариями. Имеем:
-
- Построим матрицу ковариаций изменений доходности в точках 2y, 5y, 15y.
И сразу заметим, что сумма дисперсий точек равна сумме диагональных элементов.
Незаменимая вещь для построения подобных матриц – надстройка Eikon-Excel Covariance and correlation matrix.
- Пусть первый компонент это некоторый вектор
Мы хотим, чтобы он объяснял наибольшую часть вариативности первоначальных данных, что достигается через два условия:
- с1*с1T=1 обозначим данное условие (&). Оно гарантирует, что сумма дисперсий наших принципиальных компонент будет равна TotalVariance;
- выражение с1*(cov.mtrx)*c1T есть ни что иное как дисперсия первого принципиального компонента, и именно его необходимо максимизировать при соблюдении ограничения (&).Используем Solver и находим
- Для того, чтобы найти дисперсию c1 нам придется перемножить соответствующие матрицы, имеем в итоге
Отметим, что этот компонент объясняет около
первоначальной суммарной дисперсии, что является хорошим результатом.
- Второй компонент найдем точно также, но необходимо добавить условие на отсутствие корреляции второго и первого компонента. Если второй компонент c2, то данное условие имеет вид: с1*с2T=0 (&&) . Вновь используем Solver но уже с двумя ограничениями вида (&) и (&&), находим второй компонент
Повторяя логику, находим, что второй компонент объясняет 4% первоначальной суммы дисперсий. В сумме с первым это уже 98%, вполне достаточно для нашей задачи. Напомним также, что отсутствие корреляции не означает независимости.
- Последним этапом перед интерпретацией всех этих вычислений запишем наши компоненты для удобства в виде произведения их на свои стандартные отклонения. Имеем для
Наш новый компонент мы обозначим заглавной буквой, и он уже имеет размерность процентного пункта. Для второго компонента все полностью аналогично, имеем
- Построим матрицу ковариаций изменений доходности в точках 2y, 5y, 15y.
Интерпретация результатов точки зрения экономики торговой позиции
Поскольку смысл найденных величин очевиден не сразу, то их верная интерпретация – ключевой момент в корректном практическом применении. Предложим следующую интерпретацию получившихся компонент на примере С1: это такая случайная величина, при изменении которой на одно стандартное отклонение ставки в точках 2y, 5y и 10y изменяются соответственно на 18,41 bp, 20,85 bp, 19.98 bp. Очевидно, знак изменений ставок и первого компонента совпадают: при росте компонента ставки растут, при падении – падают, и можно говорить, что экспозиция C1 положительна на все три доходности.
Итак, что в настоящее время нам известно о C1:
- Объясняет более 90% вариативности ставок;
- Все ставки двигаются одновременно на рост или на падение;
- Величины в строках вектора достаточно близки между собой.
Это наводит на мысль, что данный компонент описывает параллельный сдвиг общего уровня процентных ставок. Пока это только гипотеза, в дальнейшем мы проверим ее бэк-тестом.
Аналогичную интерпретацию можно дать и для второго компонента: если мы добавим одно стандартное отклонение к C2 , то ставки увеличатся на 4,43 bp, 1,31 bp, и минус 5,45 bp, что очень похоже на изменение наклона кривой: при росте C2 кривая будет инвертироваться, а при падении – нормализовываться. Давайте вновь примем это за рабочую гипотезу и потом проверим на бэк-тесте. Итак, экспозиция C2 положительна на короткий и средний участок кривой и отрицательна на длинный.
Логичны ли эти выводы? Если предположить что компоненты C1 и C2 имеют тенденцию двигаться сонаправлено, то например режим risk-off на рынке можно описать одновременным увеличением данных компонент. Действительно, в таком режиме общий уровень ставок растет (С1 ↑), а кривая имеет тенденцию инвертироваться за счет более волатильного короткого участка и менее волатильного длинного (C2 ↑). И аналогично для режима risk-on: уровни ставок падают ( С1 ↓), кривые становятся более нормальными (С2 ↓).
Найденные компоненты призывают нас больше не думать в системе координат отдельных ставок, они предлагают другой подход, где изменяются уже сами компоненты. Соответственно будет полезно помнить, что наш доход (также как и риск) теперь обусловлен уже движениями C1 и C2 , а не отдельных ставок. Именно так мы и поступим на этапе практического применения компонент.
Применение найденных компонент для нашей задачи.
Мы попросим у читателя вспомнить наши первоначальные задачи по хеджированию торговой книги, озвученные во вступительной части.
- быть рыночно нейтральным к уровню ставок;
- брать риск только на изменение наклона кривой;
- иметь количественную оценку данного риска в рублях.
Первая задача решается сразу: целевая структура портфеля должна обеспечивать нулевую экспозицию на C1.
Определим, что требует вторая и третья задачи. Очевидно, экспозиция портфеля на C2 должна быть ненулевая. Но какая? Здесь все зависит от риск-толерантности Банка, в котором работает торговый деск. Давайте предположим, что под данную торговую идею трейдер имеет стоплосс 100 рублей. Если целевая вероятность дефолта Банка согласно его стратегии равна 1%, то эти 100 рублей представляют собой 99% var позиции. В этом случае целевое стандартное отклонение нашей позиции примет вид
Это и будет величина экспозиции на C2.
Итак, все готово для формулировки задачи в виде, например, такой таблицы:
Получили два уравнения против двух неизвестных, что имеет аналитическое решение, и наш профиль позиции в терминах dv01 предстаёт в виде:
dv01(2y) = 1.739
dv01(5y) = 3.786
dv01(15y) = -5.555.
Переход от dv к конкретному количеству бумаг тривиален. Целевой портфель сформирован, и задачу можно считать решенной.
Бэк-тест модели
Далеко нелишне посмотреть, как это реально сработало бы на портфеле. Для этого мы, очевидно, сформируем портфель с предложенным профилем dv01 и посмотрим, как бы он вел себя за рассматриваемый интервал 2018-2020 (безусловно, это упрощение. Строгий бэк-тест должен быть динамическим с ребалансировками портфеля. Тем не менее для целей иллюстрации идеи статьи он вполне достаточен).
Для начала рассмотрим риск-характеристики полученного портфеля.
Сделаем вывод, что параметры риска портфеля близки к желаемым.
Особый интерес представляет источник риска. В следующей ниже таблице сведены коэффициенты корреляции портфеля с уровнем ставок и с наклоном кривой:
Столбец exposure показывает на что именно трейдер стремился оставить риск. Например, в нашем случае было намерение оставить портфель подверженным риску наклона кривой (экспозиция на наклон (slope)). Для каждого случая показана корреляция фактического портфеля с наклоном кривой или уровнем ставок. Для нашего примера мы получили ожидаемо практически отсутствие корреляции с уровнем ставок (0,002) на фоне высокой зависимости от наклона кривой (0,88). Это как раз тот профиль драйверов риска, к которому и стремился наш трейдер.
Однако если бы наша цель была бы, напротив, оставить портфель подверженным риску уровня ставок (экспозиция на уровень (level)), то в этом случае нежелательным фактором риска был бы уже slope, и, как мы видим, корреляция в 0,19 с данным фактором пусть по абсолютному значению и небольшая, но все же нулевой не является. Поскольку нам бы как раз хотелось нулевой экспозиции портфеля на C2 в этом случае, предлагается провести стат-тест значимости полученной корреляции. Для этого построим двухфакторную регрессию , где зависимая переменная это Δport ={изменение стоимости портфеля} и две независимых, соответственно Δlevel ={изменение среднего уровня ставок} и Δslope ={изменение уровня наклона}. В нашем случае регрессия приняла вид:
Δport = -0,669 – 0,254*Δslope -2,150*Δlevel + ε
Для коэффициента -0,254 получаем p-value=0.16, что является слабым результатом, свидетельствующем о незначимости зависимости даже на уровне 90%. Это позволяет сделать вывод о почти отсутствующей связи нашего рейтс-портфеля и уровня наклона кривой.
Заключение
В то время как классическая задача принципиальных компонент – это уменьшение размерности многомерных данных для упрощения исследования этого массива данных, в нашем примере мы предприняли попытку использовать данный метод для декомпозиции многофакторной переменной (кривой процентных ставок) на элементарные составляющие, чтобы иметь возможность работать отдельно с каждой из этих составляющих.
Также отметим, что две найденные компоненты объясняют 98% волатильности кривой, и ничто не мешает вычислить третий компонент (оставшиеся 2%). Логично предположить, что он будет объяснять выпуклость или вогнутость кривой, что откроет возможности для реализации соответствующих торговых стратегий.